Die  Gestalt der Erde ist unregelmäßig und wird Geoid genannt. In der höheren Geodäsie wird die Erde als Rotationsellipsoid angesehen, weil sich dieser dem Geoid am besten anpaßt. Nach Hayford beträgt der Äquatorradius a = 6378,388 km und der Polradius b = 6356,912 km. In erster Näherung darf die Erde als Kugel mit einem mittleren Radius von 6371,221 km angesehen werden.

Großkreise und sphärische Kreise

Alle Kreise einer Kugel werden als sphärische Kreise bezeichnet.
Alle sphärischen Kreise, deren Schnittebenen durch den Mittelpunkt der Kugel verlaufen sind Großkreise. Sie haben den größten Radius R. Alle anderen möglichen Kreise sind Kleinkreise.
Ein Punkt auf der Erdkugel wird durch seine geographische Länge l und seine geographische Breite j festgelegt. Die Meridiane sind Großkreise, die durch den Achsenpol P gehen. Die Breitenkreise sind alle Kreise, deren Punkte denselben Abstand zum Achsenpol P haben.
Alle Entfernungen auf einer Kugel werden auf Großkreisen gemessen. Daher spielen die Großkreise auf der Kugel die gleiche Rolle wie die Geraden in der Ebene.

Bild 1: Großkreise und sphärische Kreise

Liegen drei Punkte A, B, C nicht auf einer Geraden im Raum, so bestimmen sie eine Ebene und in ihr ein ebenes Dreieck.

Drei Punkte A, B, C im Raum können jedoch auf unendlich vielen Kugelflächen die Ecken eines sphärischen Dreiecks (Kugeldreieck) bilden (Bild 2). Für den Radius R gegen unendlich gehen das sphärische Dreieck in ein ebenes Dreieck und die sphärischen Winkel a, b, g in ebene Winkel über.

Die sphärischen Dreiecke werden auch Eulersche Dreiecke genannt. Die Dreieckswinkel a , b, g sind die Neigungswinkel der Großkreisebenen und sind stets kleiner als p. Die Winkelsumme im Eulerschen Kugeldreieck liegt zwischen p und 3p. Der größten Seite liegt auch stets der größte Winkel gegenüber (Bild 2).

Sphärisches Dreieck

Bild 2: Sphärisches Dreieck

Seitenkosinussatz
cos a = cos b cos c + sin b sin c cos a
cos b = cos c cos a + sin c sin a cos b
cos c = cos a cos b + sin a sin b cos g

Winkelkosinussatz
cos a = -cos b cos g + sin b sin g cos a
cos b   = -cos g cos a + sin g sin a cos b
cos g  = -cos a cos b + sin a sin b cos c

Rechtwinkliges sphärisches Dreieck

Bild 3: Rechtwinkliges sphärisches Dreieck

Sinussatz
sin a : sin b : sin c = sin a : sin  b : sin g

Vereinfachungen lassen sich auch in der spärischen Trigonometrie durch Einführung rechtwinkliger Dreiecke erreichen (Bild 3). Analog zum ebenen Dreieck gilt, daß die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite die Hypotenuse und die anderen beiden Seiten die Katheten sind.

Hat in einem rechtwinkligen sphärischen Dreieck der Winkel g die Größe p/2, so lassen sich wegen sin (p/2)= 1 und cos ( p/2)= 0 die Sätze vereinfachen (Nepersche Regel).

Sinussatz
sin a = sin a sin c
sin b = sin b sin c

Seitenkosinussatz
cos c = cos a cos b

Winkelkosinussatz
cos a = sin b cos a
cos b = sin a cos b

Entfernungs- und Richtungsbestimmung

Entfernungs- und Richtungstabelle ausgewählter Orte von Malliß